Noviembre

Sistema de Funciones Implícitas

 

Ejemplo: 1) u + v = x + y ......................2) xu + yv = 1

Paso 1:
Por derivacion hallamos dos ecuaciones que relacionan entre si las cuatro variables.

Observe que la derivada de u en funcion de "X", es du y la derivada de v en funcion de "X" es dv, esto es equivalente a decir:

recuerde y con respecto a x es constante.......x con respecto a y es constante.
ahora las derivadas para la primera y segunda ecuacion nos queda:

1) du + dv = 1..........................................2) u + xdu + ydu = 0

Paso 2:
Creamos un sistema de ecuaciones con estos resultados.

Paso 3:
Aplicando el metodo de Reduccion, multiplicamos la funcion 1, por (-y), para luego cancelar dv.


y nos queda:

ahora vemos que las funciones dv son iguales, pero con diferente signos, se cancelan y no queda como resultado:

u + (x - y)du = -y

Paso 4.
Seguidamente despejamos este resultado en funcion de du.

(x - y)du = - u - y --------> (x - y)du = - (y+ u)

Luego:

Paso 5.

De igual forma con el mismo sistema determinando hallamos dv, multiplicando la primera ecuacion por " -x ".
Esto nos queda de la siguiente forma:

Ahora al cancelar -xdu y +xdu, por tener signos contrarios nos queda:

u + (y - x)dv = -x

Paso 6.

Despejamos dv y nos queda como resultado.

(y - x)dv = -x - u .................y - x)dv = -(x + u)

Luego:

Con lo cual nos queda:

Este es el resultado en cuanto de du y dv en funcion de "x", ahora viene aplicar el mismo procedimiento en funcion de "y"
Calculo de du y dv en funcion de " y "

Paso 1.

Derivamos las funciones dadas originalmente en funcion de "y"
1) du + dv = 1.......................................2) v + xdu + ydv = 0

En este caso como estamos trabajando en funcion de y, entonces las equivalencia de du y dv, seran:

Paso 2.

Creamos un nuevo sistema de ecuaciones.

Paso 3.

Multiplicamos la primera funcion por -y para igualar y al mismo tiempo cancelar dv.


Luego nos queda

Cancelando -ydu y +ydu por ser iguales nos queda:

v + (x-y)du = -y

Paso 4.
Despejamos en funcion de du y nos queda.

(x - y)du = -y -v.................(x -y)du = -(y + v)

Luego

Paso 5.

Ahora en el mismo sistema de ecuaciones multiplicamos por -x, para cancelar du. y hallar luego hallar dv.

ahora nos queda

Luego nos queda como resultado.

v + (-x + y)dv = -x........-(x - y)dv = -x -v...............

.-(x - y)dv = -( x + y)

Paso 6.

Despejamos en funcion de dv.

Ahora para concluir nos queda

Estos son los resultados de du y dv con respecto y.

Viernes 09 de noviembre del 2013

Fundamentos Teóricos

• Máximos y mínimos relativos

Desarrollo

En esta clase revisamos los conceptos de máximos relativo (Mr) y mínimos relativo (mr).Primero se realizó una representación gráfica de los mismos en el espacio. Luego se especificó también que es un punto de silla (punto donde existe un Mr y un mr). Depués resolvimos varios ejercicios de este tema. Algunos de demostración de existecia de un Mr o un mr.  Finalmete nuestra ingeniera nos supo enseñar un teorema donde ocupamos las derivadas parciales para encontrar el Mr o el mr, mediante la utilización del Hessiano.

Materia Revisada

Máximos y mínimos relativos

Una función tiene un máximo (mínimo) en un punto si el valor de la función en este punto es mayor (menor) que su valor en cualquier otro punto X(x,y) de algún entono de P.

Condiciones necesarias de extremo. Si una función diferenciable alcanza un extremo en el punto entonces sus derivadas parciales de primer orden en este punto son iguales a cero, o sea:

;

Los puntos en los que las derivadas parciales son iguales a cero se llaman puntos críticos o estacionarios. No todo punto crítico es un punto extremo.

Condiciones suficientes para la existencia de extremos.

(a) Caso de dos variables. Sea un punto crítico de una función con las derivadas parciales de segundo orden continuas en P, y sea el determinante de su matriz hessiana, entonces:

Es decir, si el hessiano es positivo hay extremo (el tipo nos lo da , si es negativa máximo y si es positiva mínimo). Si el hessiano es negativo no hay extremo. Y si el hessiano es cero hay duda (que habrá que resolver por otro método)

(b) Caso de tres o más variables. Calculamos los siguientes determinantes:

; ;;...;

1. Si todos los determinantes tienen signo positivo, entonces la función tiene un mínimo en
2. Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando con un valor negativo ), entonces la función tiene un máximo en
3. En cualquier otro caso hay duda.
   
   
   Ejemplo:  Halla los extremos de la función
   
   Solución:
   (a) Calculamos las derivadas parciales de primer orden.
   ;
   Los puntos críticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales.
   
   y resolviendo el sistema obtenemos x=0, y=0. Luego P(0,0) es el único punto crítico de la función.
   Hallamos la matriz hessiana de f en P(0,0).
   
   Con lo cual tenemos H(0,0)=0 luego hay duda.
   Para determinar la naturaleza del punto crítico hay que acudir a otros criterios, en este caso basta observar la función para que se trata de un mínimo ya que
   El valor de la función en el mínimo es f(0,3)=-8.
   
   
    

Semana Trece

Objetivos

• Desarrollar destrezas en la aplicación del cálculo vectorial a problemas de optimización. 
• Desarrollar la capacidad de análisis y síntesis de conceptos y propiedades de máximos y mínimos.

Martes 12 de noviembre del 2013

Fundamentos Teóricos

• Máximos y mínimos absolutos

Desarrollo

En este día nuestra clase fue acerca de los máximos y mínimos absolutos, de esto podemos citar que toda función diferenciable en una región acotada y cerrada alcanza su máximo(mínimo) en un punto estacionario o en un punto de la frontera de la región. Por ello al realizar un ejemplo del mismo realizamos el análisis de cada punto citado.

Materia Revisada

Máximos y mínimos absolutos

El máximo absoluto de una función  en un intervalo cerrado  es el mayor valor que toma la función en todo el intervalo.

El mínimo absoluto de una función  en un intervalo cerrado  es el menor valor que toma la función en todo el intervalo.

         Si nos planteamos el problema de hallar el máximo y el mínimo absolutos de una función   en un intervalo cerrado , habremos de considerar tres clases de puntos:

        

a)     los puntos críticos o singulares de f en .

b)    Los extremos a y b.

c)     Los puntos de  en los que f no es derivable.

Si x es un punto máximo o mínimo absoluto de  f  sobre  , entonces x será un punto de una de las tres clases arriba citadas.

El procedimiento para calcular el máximo y el mínimo de una función  f  en un intervalo cerrado  es bastante sencillo:

a)     Primero se calcula  para todos aquellos puntos x para los cuales , es decir el valor de la función en los puntos críticos.

b)    Después se calcula  en los puntos x en los  que f no es derivable.

c)     Finalmente se calculan  y

El mayor de todos estos valores será el máximo absoluto, y el menor de todos ellos será el mínimo absoluto.

Ejemplo:

a)  Calcular el máximo y el mínimo absolutos de la función

                en el intervalo .

En primer lugar derivaremos la función:

Luego igualamos esa primera derivada a cero:  

y resolvemos la ecuación así obtenida. En este caso 

El valor  está en el intervalo , luego el primer conjunto de “candidatos” a máximos o mínimos es

El segundo conjunto contiene a los extremos del intervalo:

El tercer conjunto (el conjunto de los puntos donde la función no es derivable) no tiene ningún valor en este caso, pues la función es derivable en todos los puntos del intervalo (es un polinomio y sabemos que todos los polinomios son derivables en cualquier punto de su dominio hasta el orden que deseemos).

Por último, sólo tenemos que calcular los valores que toma la función en esos puntos:

  

Por lo tanto el mínimo absoluto es , en el punto , y el máximo absoluto es 20, en el punto . x=-3

Viernes 15 de noviembre del 2013

Fundamentos Teóricos

• Multiplicadores de Lagraje

Desarrollo

Se inició la clase con las definiciones necesarias de los máximos y mínimos condicionados. Los cuales se llaman así cuandos sus variables independientes están relacionaos entre sí mediante la ecuación de enlace. También se nos mostró la función de Lagraje que tendra tantos multiplicadores como ecuaciones de enlace existan. Finalmente realizamos dos ejemplos en los cuales pudimos utilizar la función de Lagrage.

Materia Revisada

Multiplicadores de Lagranje

Método de los multiplicadores de Lagrange. Los extremos de la función f(x,y) condicionados por la restricción g(x,y)=0, se producen en los puntos críticos de la función de Lagrange:

Condiciones necesarias de extremo. Las condiciones necesarias del extremo de una función de Lagrange vienen dadas por el sistema de ecuaciones.

Para resolver el sistema, eliminamos de las dos primeras ecuaciones y el resultado lo sustituimos en la tercera (procurando no perder soluciones con las simplificaciones).

Condiciones suficientes para la existencia de extremos.

(a) Caso de dos variables. Sea un punto crítico de la función de Lagrange , obtenido para un valor concreto . Formamos la función de Lagrange para ese

Para estudiar su naturaleza podemos seguir dos caminos:

(a-1) Método de la diferencial segunda: El problema de la existencia y el carácter del extremo condicional se resuelve averiguando el signo de la segunda diferencial de la función de Lagrange (particularizada para )

a condición de que:

Si la función tiene un mínimo condicionado, y si la función tiene un máximo condicionado.

(a-2) Método del Hessiano: Hallamos el hessiano de la función de Lagrange en el punto crítico correspondiente, y sólo podemos concluir en el caso de que sea positivo.

Es decir, si el hessiano es positivo hay extremo (el tipo nos lo da , si es negativa máximo y si es positiva mínimo). En los demás casos hay duda (que habrá que resolver por otro método)

(b) Caso de tres o más variables (caso general). Calculamos los siguientes determinantes (con las derivadas evaluadas en ):

; : ... :

1. Si todos los determinantes tienen signo negativo, entonces la función tiene un mínimo condicionado en
2. Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando con un valor positivo ), entonces la función tiene un máximo condicionado en
3. Si todos los pero no se cumplen ninguna de las dos condiciones anteriores, entonces la función no posee extremo condicionado en
4. Si algún hay duda.

Reducción a dos variables: Los extremos de la función f(x,y,z) , condicionados por la restricción g(x,y,z) = 0, pueden reducirse a un extremo de dos variables en aquellos casos en que sea posible despejar una de las variable de la ecuación g(x,y,z) = 0.

Extremos condicionados con varias ligaduras: Los extremos de la función f(x,y,z) , condicionados por las restricciones g(x,y,z) = 0 y h(x,y,z) = 0 , se producen en los puntos críticos de la función de Lagrange:

Ejemplo:

Halla los extremos de la función f(x,y,z) , condicionados por la recta x - y = 0.

Solución:

Formamos la función de Lagrange:

Calculamos las derivadas parciales de primer orden de la función L.

;;

Los puntos críticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales.

y resolviendo el sistema obtenemos . Luego P(0,0) es el único punto crítico de la función.

Para estudiar su naturaleza investigamos en el punto P(0,0) la segunda diferencial de la función L(x,y;0).

vinculamos los diferenciales a partir de la ecuación g(x,y)=0, lo que nos da dx-dy = 0, de donde dx = dy, con lo que resulta:

Es decir, la segunda diferencial, mediante la restricción, se ha convertido en una forma cuadrática definida positiva, y por lo tanto el punto P(0,0) es un mínimo condicionado.

Semana Catorce

Objetivos

• Desarrollar destrezas básicas en integración en varias variables.
• Potenciar el desarrollo de competencias para la resolución de problemas propios de la ingeniería y la física.
• Proporcionar conceptos de Integrales dobles, triples, de línea y de superficie.

Martes 05 de noviembre del 2013

Fundamentos Teóricos

• Integrales Múltiples
• Integrales sobre regiones rectangulares
• Integrales sobre regiones más generales

Desarrollo

En este aprendimos acerca de las integrales múltiples para esto primero nuestra ingeniera nos indicó de manera gráfica en el plano y el espacio la definición de las integrales mútiples. Luego tratamos acerca de las integrales sobre regiones rectangulares. En estas el orden de los diferenciales no es relevante por que la respuesta es la misma. Luego realizamos dos ejemplos. En los cuales pudimos participar pasando a la pizarra. Otro tema que se nos explicó en clase fueron las integrales en regiones más generales. Primero se demostró su definición como la integral doble de la región de la función f(x,y) de un diferencial de la región. Finalmente realizamos dos ejemplos más pero del segundo tema citado.

Materia Revisada

Sistema de Funciones Implícitas

La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una región del plano xy. Esta área esta dada por una cualquiera de las integrales

Los límites de integración apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la figura 1, cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y, y después respecto a x; es decir

Esta última integral podía haberse escrito de primera intención, puesto que expresa el área como límite de la suma de fajas horizontales.

Viernes 22 de noviembre del 2013

Fundamentos Teóricos

• Transformación de regiones no rectangulares a rectangulares
• Coordenadas Esféricas
• Coordenadas Cilíndricas
• Centro de masa

Desarrollo

En nuestra última clase teórica y de materia revisamos todos los temas citados. Iniciamos la clase con la transformación de regiones no rectangulares a rectangulares. Demostrando de que el jacobiano es igual al radio. Luego encontramos la solución de un ejercicio. Con el mismo fundamento del jacobiano entontramos las coordenadas esféricas y cilíndricas, estas las usamos en integrales triples. Luego realizamos un ejercicio de transformar una integral doble a otra equivalente. Finalmete pudimos ver la aplicación del centro de masa.

Materia Revisada

Sistema de Funciones Implícitas

En un espacio R2, un dominio de integración que tenga una simetría circular es muchas veces suceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble tomará su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente transformación:

Por ejemplo:

Si aplica la identidad trigonométrica pitagórica de senos y cosenos.

El determinante jacobiano de la transformación es:

Coordenadas cilíndricas.

Las coordenadas cilíndricas son apropiadas para describir cilindros cuyos ejes coinciden con el eje x y planos que contienen el eje z o bien son perpendiculares a el.

r = 4 Cilindro, radio 4, eje el eje z

Plano que contiene al eje z

z= 2 Plano perpendicular al eje z

El elemento de volumen para subdividir una región en el espacio con coordenadas cilíndricas es

Las integrales triples en coordenadas cilíndricas son entonces evaluadas como integrales iteradas, como el siguiente ejemplo.

Cambio de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas

La gráfica siguiente muestra las coordenadas esféricas de un punto P.

Las ecuaciones que permiten transformar las coordenadas rectangulares x, y, z de un punto P en coordenadas esféricas vienen dadas a continuación.