Octubre

Interpretación Geométrica

 Las derivadas parciales $\,f_y(a, b)\,$ y $\,f_y(a, b)\,$ pueden interpretarse geométricamente como las pendientes de las rectas tangentes a las curvas $\,C_1\,$ y $\,C_2\,$ en el punto $\,P\,$ ,$\,C_1\,$ es la traza de la superficie $\,S\,$ sobre el plano $\,y = b\,$, el plano vertical $\,x = a\,$ interseca a la superficie $\,S\,$ en la curva $\,C_2\,$. Ambas curvas pasan por el punto $\,P\,$. 



Interpretación Física


Las derivadas parciales pueden también ser vistas como razones de cambio. Si $\,z = f(x, y)\,$, entonces $\,f_x\,$ representa la razón de cambio de $\,z\,$con respecto a $\,x\,$, cuando $\,y\,$permanece fija. De manera semejante, $\,f_y\,$ representa la razón de cambio de $\,z\,$ con respecto a $\,y\,$, cuando $\,x\,$ permanece fija.

Regla de la cadena

Sea z=F(x,y) una función con derivadas parciales continuas y supongamos que tanto x como y son funciones de un parámetro t y ambas tienen derivadas respecto de t. Entonces z=F(x(t),y(t)) es una función compuesta. Un cambio en t afectará a las variables x e y, por lo tanto se producirá un cambio en z. Es razonable preguntarse por la razón de cambio de z respecto a t. Esta derivada puede obtenerse:

dz dt = ∂ z ∂ x  .  dx dt + ∂ z ∂ y  .  dy dt





Derivadas de orden superior




Lo mismo que sucede con las derivadas ordinarias, es posible encontrar derivadas parciales de una función de varias variables de orden segundo, tercero y superior, supuesto que tales derivadas existen. Denotamos las derivadas de orden superior por su orden de derivación. Por ejemplo, hay cuatro formas distintas de encontrar una derivada parcial segunda de z=f(x,y). 



Derivar dos veces respecto de x 
Derivar dos veces respecto de y
Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y
Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x

Los casos tercero y cuarto se conocen como derivadas parciales cruzadas


Generalizando:
  • Una funcion de "n" variables independientes tendra "n^2" derivadas parciales de segundo orden.
  • Una función de "n" variables independientes tendrá "n^m" derivadas parciales de orden "m".



Incremento total y parciales de funciones de varias variables


Sean $\,f :\,D \subset \mathbb{R}^{2}\, \longrightarrow \mathbb{R}\,$una función escalar. Se llama incremento total de una función en un punto a la diferencia dondey son incrementos arbitrarios de los argumentos.

Se llama diferencial total de la función a la siguiente expresión (si la función es diferenciable)(si la función no es diferenciable esta expresión no tiene ningún significado).




Derivada Direccional



Operador Nabla



Es un operador diferencial vectorial. En coordenadas cartesianas tridimensionales, nabla se puede escribir como:

     \nabla = \hat{x}{\partial \over \partial x} + \hat{y}{\partial \over \partial y} + \hat{z}{\partial \over \partial z}.
siendo \hat x, \hat y y \hat z los vectores unitarios en las direcciones de los ejes coordenados. Esta base también se representa por \hat \imath, \hat \jmath, \hat k.

Gradiente
Cuando el operador nabla actúa sobre un campo escalar. Y tenemos que :

Entonces el gradiente de f es 

 

Divergencia
Si actúa sobre un campo vectorial .  Y tenemos que
 
Entonces la divergencia es: 



Rotacional

La otra forma de operar con el operador nabla se llama rotacional, que es algo similar al producto vectorial:




donde


Derivada Direccional

Si tenemos una función f que es diferenciable en x e y , podemos hallar la taza de cambio de
z = f (x,y) en la dirección del vector u . 

Derivada Direccional



Derivación de funciones Implícitas

Para este tipo de ejercicios es importante identificar la relación de dependencia entre las variables , es decir establecer que variables son dependientes y cuales son independientes para así ahorrarnos tiempo al momento de realizar los ejercicios.

Mas información y ejercicios acerca del tema encontramos en el siguiente enlace:

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