Septiembre

Funciones de Varias Variables

Funciones de Varias Variables

Sea D un subconjunto de Rn. Si a cada (x1, . . . , xn) ∈ D le corresponde un único número real 

f (x1, . . . ,xn) se dice que f es una función de las variables x1, . . . , xn.

Ejemplo: 

A (b, h) = b · h

Dominio y Recorrido

El conjunto D de la definición anterior se llama dominio de f, y el conjunto de valores f (x1,.., xn) correspondiente a dicho dominio se llama recorrido de f.

Gráfica de una Función de dos Variables 

La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos (x,y,z) tales que z = f(x,y) y x∈ D.

La gráfica de una función de dos variables z = f(x, y) puede interpretarse geométricamente como una superficie S en el espacio de tal forma que su proyección sobre el plano xy es D, el dominio de f. En consecuencia, a cada punto (x,y) en D le corresponde un punto (x,y,z) en la superficie y, a la inversa, a cada punto (x,y,z) en la superficie le corresponde un punto (x,y) en D. 

Curvas y Superficies de Nivel 

MAPAS DE ALTURAS Y CURVAS DE NIVEL 

La gráfica de una función h de una sola variable es la representación de un conjunto de puntos de la forma (x, y) tales que y = h(x). Cuando tenemos una función f de dos variables, la gráfica tiene que representar conjuntos de puntos de la forma (x, y, z) tales que z = f(x, y). Por este motivo, para representar la gráfica de una función de dos variables necesitamos tres dimensiones.

En el caso de la gráfica tridimensional, partimos de tres ejes perpendiculares entre sí: en los dos ejes horizontales representamos las variables x e y, y en el eje vertical representamos los valores z que toma la 

función. 

 Hemos denominado los ejes con las letras X, Y y Z, respectivamente. A cada valor de las variables x e y le corresponde un punto (x, y) del plano que se encuentra en la base. Por ´ ultimo, la función f asocia un valor

 z = f(x, y) al punto (x, y). 

Con la grafica nos podemos imaginar el grafo de una función de dos variables como una sábana por encima (o por debajo, si la función toma valores negativos) del plano donde están los puntos (x, y). También 

podemos establecer un símil con una montaña, de forma que para describir el comportamiento de la función nos interesará saber si la pendiente es muy fuerte o no en una determinada dirección, junto con donde se 

encuentran las cumbres y los valles. Una última manera, que nos resultará intuitiva para otros propósitos como veremos más adelante, es considerar la grafica de la función como si se tratase de la superficie de un pastel que hemos colocado sobre el plano donde están las variables x e y (de ahora en adelante lo llamaremos plano XY). 

No tenemos que extrañarnos, pues, de que el recurso de las curvas de nivel utilizado en los mapas topográficos también nos sirva a nosotros para simplificar la representación de funciones de dos variables. 

Podemos ver que las curvas de nivel no se representan en tres dimensiones, si no en dos. Las curvas de nivel son precisamente una forma de tener información sobre la tercera dimensión (la altitud), sin necesidad 

de dibujarla. 

Si queremos determinar una curva de nivel, tenemos que fijar una cierta altitud, es decir, un cierto valor de la z, y entonces unir todos los puntos (x, y) que tienen la propiedad de que 

f(x, y) = z. 

Límites y Continuidad 

LIMITE 

Vamos a tratar el concepto de límite de forma intuitiva. Para una función f de una variable,decimos que l´ımx→a   f (x) = L si existen los límites por la derecha y por la izquierda de x = a, y además coinciden con el valor de L.

Para una función f de dos variables, decimos que l´ım (x,y)→(a,b)     f (x, y) = L si existen los límites por TODOS los caminos posibles hacia el punto (a, b), y además coinciden con el valor de L.

  

CONTINUIDAD 

Intuitivamente, la definición de continuidad significa que la función no tiene saltos repentinos. 

Cuando tratamos con subconjuntos de R, solo contamos con dos direcciones mediante las cuales un punto puede ser aproximado: desde la izquierda o desde la derecha. Sin embargo, cuando hay más variables la situación cambia, ya que tenemos muchas trayectorias posibles de aproximación. 

Esto, por un lado, marca una diferencia no trivial con respecto al caso de una variable y, por el otro, hace que la definición de límite sea más restrictiva, puesto que el límite se encuentra bien definido si, y solo si, existe para todas y cada una de las trayectorias posibles de aproximación.